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第一章 绪论1

1 数学的认识论与数学思维1

一、从东方人的思维特征谈起1

二、谈谈哲学及其认识论的深化进程2

三、数学思维与合情推理4

2 谈点学习心理学5

一、关于认识过程的一点认识6

二、对学习的一点再认识8

三、关示学习的年龄特征9

第二章 数学一瞥11

1 数学史一瞥11

一、数学的基本发生图11

二、数学中心的迁移史12

三、数学史的几个重要阶段13

2 应用数学全空间认识21

一、应用数学全空间示意图21

二、模型化——数学的近似性21

三、精确性——数学的内部过程25

四、广义性——数学回到客观世界26

3 公理化一瞥28

一、古典公理化思想的产生28

二、现代公理系统思想的产生30

三、公理化、公理系统及与形式化、形式系统的关系31

四、公理化思想(广义公理化)33

五、公理化赞(代小结)38

第三章 数学中几个基本特征39

1 数学的基本对象：集合39

一、集合认识简顾39

二、集合概念及其引伸40

三、集合元素与数学的抽象性42

2 数学的基本关系43

一、序关系44

二、运算关系45

三、映射关系46

3 数学的基本结构48

一、序结构48

二、代数结构50

三、拓扑结构50

四、复合结构52

4 无穷的数学认识53

一、无穷的基本类型53

二、科学发展——向无穷的迈进？54

三、无穷认识小史简述55

四、现代数学对穷的认识状态简述56

第四章 对偶性、二象性与完全空间59

1 对偶空间认识59

一、具有内积特征的对偶空间概念及其推广认识59

二、赋范空间等及多重线性空间的对偶结构63

三、对偶原理及其应用68

四、系统变量、参变量与影响因素辨73

2 二象性原理75

一、微观世界的二象特征及其机理认识75

二、宏观世界的二象性结构77

三、二象结构的普遍存在性78

3 对立统一律与完全空间论80

一、完全空间概念的引入80

二、完全空间中对偶二象的特征认识81

三、完全空间中二象互胀关系的描述(几个模型例)84

四、对软科学时代说的认识89

第五章 数学的逻辑范畴认识91

1 逻辑学概念91

2 形式逻辑与符号逻辑93

一、基本概念与特征93

二、形式逻辑的基本内容94

三、思维方法的研究95

四、形式逻辑的发展现状96

五、符号逻辑97

3 数理逻辑学简要认识98

一、简要回顾98

二、基本特征98

三、主要分支99

四、基本内容100

4 形式逻辑的本质认识101

一、思维形式再认识101

二、思维规律(四律)认识102

三、形式逻辑的一个根本规律是“因果律”102

四、物质宇宙的根本特征是运动103

五、物质宇宙是个动力系统103

六、因果律正合物质宇宙X的动力系统特征105

七、猜测：逻辑思维的背景空间=完全宇宙=逻辑思维对象集105

八、推论1：完全宇宙(X，X)=Ω是个最大的动力系统106

九、推论2：完全宇宙是个高维空间107

十、附注107

5 辩证逻辑认识108

一、辩证逻辑产生的客观基础108

二、辩证逻辑简顾108

三、辩证逻辑规律109

四、辩证逻辑的本质与特征110

6 数学逻辑及其认识112

一、问题的引入112

二、数学具有逻辑学的基本特征112

三、数学具备的独有特征113

四、数学逻辑的概念界定115

五、几种主要逻辑范畴间的关系认识116

7 关于多值逻辑的认识118

一、概念的引入118

二、不确定性的存在机理118

三、不确定性问题的分类121

四、模糊逻辑及其特征122

第六章 实数再认识124

1 实数认识的几个重要成果回顾125

一、算术——实数的运算性质125

二、数论——整数的组合特征125

三、数系的扩展126

四、实数的序性、稠密性和完备性考察128

五、实数的集合论认识129

2 实数集的宏观欣赏133

一、实数认识的四大阶段133

二、实轴再欣常134

三、实数集与数学的发展史137

四、方寸嵌宇宙、滴水含太阳138

五、居中原理139

3 实轴上一点处的欣赏142

一、分杵问题与物质结构观142

二、区间端点认识143

三、与任一实数最贴近的实数认识：稠密(粒)观与连续(流)观144

4 实轴的结构欣赏148

一、人类仅生活在Rr的子集上148

二、Rr与Rl相比，谁多？149

三、人类的测量活动几乎都是不精确的152

5 实轴能认识透吗？153

第七章 加乘数法：代数学认识155

1 代数学基本概念及其评述155

一、群155

二、环、理想与结合环156

三、域、体、有限域、扩张域及Bool代数、格157

四、线性空间、模与代数158

五、张量代数158

六、评述与注释160

2 文字代数与符号代数161

一、文字代数161

二、符号代数162

三、方程式论163

四、方程组论166

3 抽象代数168

一、群与近世代数学168

二、抽象代数时期：环与超复数系170

三、代数学时期172

四、复数的实质及在代数学与数学中的地位173

五、代数学特征再认识176

4 加乘概念的扩展178

一、点乘与内积，叉乘与外积178

二、∪、∩运算179

三、Λ、ⅴ运算179

四、？、？运算180

5 广义代数学181

一、数学的代数结构181

二、大自然的代数结构182

三、广义代数学183

6 小结图184

第八章 周期数学及其认识185

1 周期原理185

一、大自然的周期结构185

二、周期：用有限表现无穷的基本方式185

三、周期：运动的基本形式186

四、周期与循环辨187

五、周期原理187

2 周期函数及有关概念讨论188

一、周期函数定义及其讨论188

二、复数及复变函数的周期性190

3 作为解的周期函数认识192

一、周期解192

二、周期轨类193

三、调和解类196

4 周期概念的推广、周期函数论的发展196

一、周期概念的推广196

二、调和分析199

5 小波分析基本认识200

一、傅氏级数小史与实质200

二、f(x)的三角表达式及其条件讨论202

三、正交基与f(x)的傅氏级数202

四、傅氏变换与傅氏积分及其基本性质206

五、小波变换基本发展过程208

6 周期力学211

一、振动理论认识212

二、波动理论认识214

第九章 数学按其描述特征和几种类型认识217

1 确定性数学217

一、数值数学217

二、分析数学Ⅰ：数学分析的发展218

三、分析数学Ⅱ：数学推理方法的发展224

2 时间数学Ⅰ：t变量数学与动力系统225

一、序：时间变量与时间函数226

二、连续时间数学226

三、离散时间数学(动力系统与混沌)229

3 时间数学Ⅱ：随机数学236

一、随机数学小议236

二、概率概念中的时间性237

三、随机过程的时间特征238

四、统计学中的时间性239

五、时序分析241

4 模糊数学与复杂性数学242

一、关于不确定数学242

二、模糊数学244

三、复杂性数学246

5 优化数学247

一、价值数学与优化数学、运筹学248

二、优化数学基本原理249

三、求最优方案的优化数学251

四、求量优轨道的优化数学：控制论等256

第十章 数学按其空间形式的发展262

1 点式数学262

二、1619年前：线段数学262

二、1619年后的点式数学263

2 邻域数学264

一、笛卡儿坐标概念引起的函数论与分析学264

二、坐标概念的推广266

三、点的邻域性质认识268

四、典型的邻域数学Ⅰ：点集拓扑与拓扑学简述269

五、典型的邻域数学Ⅱ：流形上的数学273

六、邻域数学思想的应用：一个社会核拓扑模型273

3 空间数学274

一、数学研究中的空间手法274

二、欧氏空间数学276

三、非欧氏空间与几何学277

四、弯空间：流形认识279

五、函数空间的数学：谈谈泛函282

六、关于参数空间的数学284

第十一章 数学按其空间形式的发展深入：无穷小论286

1 数学对无穷小的认识回顾288

一、无穷小对认识论、方法论的初次挑战287

二、无穷小再次挑战与认识的进步288

三、公理集合论：人类向无穷小的一次主动挑战289

四、非标准分析：人类对无穷小的再次主动桃战289

2 极限论述评290

一、述评申明290

二、极限论的优越性291

三、极限论的实质292

四、｛？e>0｝只是个稠密集292

五、无穷小的一个新定义293

六、在无穷小概念下极限论显出的缺陷294

3 非标准分析述评298

一、背景及其思想的引入298

二、非标准分析概要299

三、非标准分析开启了真正的无穷小认识303

四、无穷小的初步性质304

五、非标准分析之不足305

4 来自微观世界的启示305

一、关于微观世界306

二、微观世界的一般特征309

三、微观世界的根本特征：非牛顿空间310

四、无穷小世界与非牛顿空间的关系311

五、超弦：基本粒子论对无穷小理论的支持311

六、在微观领域数、理有必要进一步联姻313

5 客观世界的动机制认识314

一、从能量认识谈起314

二、能量的本质与动机制315

三、动机制与动邻域316

四、动邻域与高维空间318

6 无穷小认识与芝诺悖论解释319

一、基于§1-§5的几点定性认识319

二、复单子：无穷小的一个模型描述321

三、无穷小认识的应用与芝诺悖论解释323

第十二章 现代数学与社会科学的联姻基础327

1 现代科学与现代数学特征327

一、从现代概念谈起327

二、现代科学特征329

三、现代数学特征Ⅰ：泛函性329

四、现代数学特征Ⅱ：大范围分析331

五、现代数学特征Ⅲ：非线性、高维空间、不确定性与抽象化风333

2 社会科学特征及与现代数学的相似性334

一、社会概念、属性空间与社会丛334

二、社会科学的特征335

三、社会科学与现代数学的“联姻”前景337

3 社会科学与现代数学“联姻”前景的逻辑地位338

一、现代数学与现代物理的联姻事实338

二、任何学科的深入都需要数学和哲学339

三、联姻前景的分形考虑339

4 一个应用例：市场经济下的竞争机制341

一、社会的市场结构341

二、市场X上的竞争模型343

三、系统(4.2)′的讨论344

四、系统(4.2)′或(4.3)的参数讨论346

五、关于国企与私企的竞争349

六、重组论350

七、竞争势及其传递效应351