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第一章　绪论1

1　误差1

1.1　误差的来源1

1.2　误差分析的基本概念2

1.3　数值算法与算法的数值稳定性3

2　误差分析的方法与原则6

3　算法的软件实现与计算机的数系结构9

习题一10

数值实验11

第二章　非线性方程（组）的数值解法14

1　二分法14

2　迭代法的理论16

2.1　不动点迭代法16

2.2　不动点迭代法的一般理论18

2.3　局部收敛性与收敛阶20

3　迭代收敛的加速方法23

3.1　使用两个迭代值的组合方法23

3.2　Steffensen加速迭代法24

4　牛顿迭代法27

5　弦割法30

6　非线性方程组的解法32

6.1　一般概念32

6.2　Newton迭代法34

6.3　Newton格式的变形37

6.4 拟牛顿法39

习题二41

数值实验42

第三章　数值逼近46

1　插值问题46

2　代数插值多项式的构造方法48

2.1　拉格朗日插值法48

2.2　牛顿插值法50

2.3　等距节点插值公式54

3　Hermite插值问题59

3.1　埃尔米特插值多项式的构造59

3.2　埃尔米特插值多项式的存在惟一性以及误差估计60

3.3　带不完全导数的埃尔米特插值多项式举例61

4　分段插值62

4.1 高次插值的评述62

4.2　分段插值64

5　三次样条插值67

5.1 三次样条函数的力学背景67

5.2　三次样条函数68

5.3　三次样条函数的性质71

6　函数逼近73

6.1　函数逼近问题73

6.2　最佳平方逼近74

6.3　最佳一致逼近80

6.4　最佳一致逼近多项式求法的讨论84

6.5 离散的最佳逼近问题86

习题三86

数值实验89

第四章　数值积分与数值微分92

1 引言92

1.1　数值求积的基本思想92

1.2　求积公式的代数精度93

1.3　收敛性与稳定性94

2　牛顿-柯特斯公式94

2.1　插值型求积公式94

2.2　牛顿-柯特斯公式96

2.3　几种低阶求积公式的余项98

3　复化求积公式99

3.1　复化梯形求积公式99

3.2　复化辛普森求积公式100

3.3 自动选取积分步长102

4　龙贝格（Romberg）积分法103

4.1　龙贝格求积公式103

5　高斯（Gauss）求积公式105

5.1 高斯积分问题的提出105

5.2　高斯求积公式106

5.3 高斯-切比雪夫求积公式110

5.4　高斯-拉盖尔求积公式110

6　数值微分111

6.1　插值型的求导公式111

6.2　利用三次样条插值函数来求数值导数113

习题四114

数值实验116

第五章　线性代数方程组的直接解法119

1　线性代数的基础知识119

1.1　向量范数119

1.2　矩阵范数120

1.3　初等矩阵125

2　Gauss消去法127

2.1　基本Gauss消去法127

2.2　主元素Gauss消去法129

2.3　Gauss-Jordan消去法131

2.4　矩阵方程的解法132

3　直接三角分解解法132

3.1　Doolittle分解法132

3.2　列主元三角分解法135

3.3　Cholesky分解法（平方根法）137

3.4　改进的平方根法139

4　用直接法解大型带状方程组140

4.1 大型等带宽方程组的分解解法140

4.2　三对角线性方程组的三对角算法（追赶法）142

4.3 大型变带宽对称正定方程组的改进平方根解法144

5　直接法的误差分析148

5.1　扰动方程组的误差界148

5.2　病态方程组的解法150

习题五152

数值实验154

第六章　线性代数方程组的迭代解法157

1　迭代法的基本概念157

1.1 向量序列和矩阵序列的极限157

1.2　迭代公式的构造159

1.3　迭代法的收敛性159

1.4　迭代法的收敛速度161

2　Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法162

2.1 Jacobi迭代法162

2.2 Gauss-Seidel迭代法163

2.3 J法和GS法的收敛性164

3 超松弛（SOR）迭代法168

3.1 超松弛迭代法168

3.2 SOR迭代法的收敛性169

3.3 最佳松弛因子与迭代法的比较171

3.4 块松弛迭代法173

4 共轭梯度法173

4.1 与方程组等价的变分问题173

4.2 最速下降法174

4.3 共轭梯度法175

4.4＊ 预处理方法简介179

习题六180

数值实验181

第七章 线性最小二乘问题184

1 线性最小二乘问题184

1.1 问题的引入184

1.2 解的存在性、惟一性185

2 广义逆矩阵188

2.1 定义与表示188

2.2 基本性质190

3 正交化方法191

3.1 Gram-Schmidt正交化方法192

3.2 正交分解与线性方程组的最小二乘解195

3.3 Householder变换与Givens变换199

4 奇异值分解204

习题七206

数值实验207

第八章 特征值问题的计算方法209

1 基本概念与性质209

2 幂法211

3 反幂法214

4 QR方法216

4.1 基本迭代与收敛性216

4.2 实Schur标准形218

4.3 上Hessenberg化219

4.4 三对角化221

4.5 隐式对称QR迭代222

4.6 隐式对称QR算法223

5 Jacobi方法224

5.1 经典Jacobi方法224

5.2 循环Jacobi方法及其变形228

6 二分法229

习题八233

数值实验235

第九章 常微分方程初值问题的数值解法237

1 基本概念与Euler方法237

1.1 初值问题及其数值解237

1.2 欧拉（Euler）法与改进的欧拉法238

1.3 预报—校正方法240

1.4 单步法的误差分析——截断误差与阶241

2 龙格-库塔（Runge-Kuta）法243

2.1 用Taylor展开构造高阶方法243

2.2 Runge-Kutta方法244

2.3 高阶和隐式Runge-Kutta方法248

2.4 变步长方法249

3 单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性249

3.1 收敛性249

3.2 相容性251

3.3 绝对稳定性251

4 线性多步方法254

4.1 Adams方法254

4.2 一般形式的线性多步方法256

4.3 一般的数值积分法259

4.4 预估—校正算法260

5 线性差分方程262

5.1 线性差分方程的的基本性质262

5.2 齐次差分方程的解264

6 线性多步法的收敛性与稳定性264

6.1 相容性与收敛性264

6.2 稳定性269

6.3 绝对稳定性270

7 一阶方程组与高阶方程272

7.1 一阶方程组272

7.2 高阶微分方程初值问题的数值解法275

8 刚性方程组276

习题九279

数值实验281

第十章　常微分方程边值问题的数值解法286

1　差分方法286

1.1 解线性微分方程第一边值问题的差分格式286

1.2　其他边界条件的讨论289

2　非线性方程边值问题290

3　边值问题的打靶法292

3.1　线性打靶法292

3.2　非线性打靶法293

习题十295

数值实验296

参考文献298