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第一章 典型方程的推导和定解条件1

1.1 热传导方程及其定解条件、位势方程1

1.2 波动方程7

1.3 举例12

习题一17

习题一解答21

第二章 分离变量法26

2.1 含有线性齐次方程、齐次边界条件或周期性条件的定解问题27

2.2 含有线性非齐次方程、齐次边界条件或周期性条件的定解问题53

2.3 无周期性条件的情况下非齐次边界条件的处理61

2.4 例题71

习题二78

习题二解答90

第三章 积分变换法、视察法与保角变换法127

3.1 引言127

3.2 付里叶变换130

3.3 付氏变换的性质133

3.4 集中力、δ函数及其付氏变换138

3.5 付氏变换的应用141

3.6 拉普拉斯变换149

3.7 展开定理168

3.8 视察法与保角变换法175

习题三181

习题三解答185

第四章 几个特殊类型的常微分方程的固有值问题193

4.1 贝塞尔方程的引出193

4.2 勒让德方程的引出196

4.3 施特姆——刘维尔型的固有值问题198

4.4 二阶线性常微分方程级数解法的有关定理206

习题四209

习题四解答211

第五章 贝塞尔函数215

5.1 Γ函数215

5.2 贝塞尔方程求解218

5.3 贝塞尔函数的递推公式226

5.4 贝塞尔函数的零点229

5.5 有关贝塞尔方程的固有值问题230

5.6 应用举例234

5.7 贝塞尔函数的母函数及积分表达式239

5.8 贝塞尔函数的渐近公式242

习题五246

习题五解答253

第六章 勒让德多项式269

6.1 级数发散的一个判别法269

6.2 有关勒让德方程的固有值问题270

6.3 勒让德多项式276

6.4 函数展开为勒让德多项式的级数280

6.5 有关连带勒让德方程的固有值问题281

6.6 应用举例285

6.7 勒让德多项式的母函数与递推公式289

习题六291

习题六解答293

第七章 用积分法解数学物理方程305

7.1 一维波动方程的达朗倍尔公式305

7.2 无界弦的强迫振动311

7.3 积分公式313

7.4 拉普拉斯方程的球对称的解319

7.5 三维波动方程的泊松公式320

7.6 位势方程解的积分表达式328

习题七339

习题七解答343

第八章 数学物理方程的差分解法351

8.1 引言351

8.2 导数的近似表达式352

8.3 拉普拉斯方程的近似解法354

8.4 热传导方程的差分格式358

习题八360

习题八解答361

第九章 变分法及其应用364

9.1 引言364

9.2 最简单的泛函的极值367

9.3 依赖于两个函数的泛函极值377

9.4 依赖于较高阶导数的泛函极值380

9.5 依赖于二元函数的泛函极值383

9.6 泛函的条件极值问题386

9.7 变分方法——里兹法与有限单元法392

习题九402

习题九解答406