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第1章 数学物理中的分数阶微分方程1

1.1分数阶导数的由来1

1.2反常扩散与分数阶扩散对流4

1.2.1随机游走和分数阶方程5

1.2.2分数阶扩散对流方程8

1.2.3分数阶Fokker-Planck方程9

1.2.4分数阶Klein-Kramers方程12

1.3分数阶准地转方程（QGE）12

1.4分数阶Schrodinger方程16

1.5分数阶Ginzburg-Landau方程18

1.6分数阶Landau-Lifshitz方程22

1.7分数阶微分方程的一些应用23

第2章 分数阶微积分与分数阶方程28

2.1分数阶积分和求导28

2.1.1 Riemann-Liouville分数阶积分28

2.1.2 R-L分数阶导数35

2.1.3 R-L分数阶导数的拉普拉斯变换40

2.1.4其他的分数阶导数定义42

2.2分数阶拉普拉斯算子48

2.2.1定义与背景48

2.2.2分数阶拉普拉斯算子的性质52

2.2.3拟微分算子56

2.2.4 Riesz位势与Bessel位势62

2.2.5分数阶Sobolev空间63

2.2.6交换子估计68

2.3解的存在唯一性74

2.3.1序列分数阶导数74

2.3.2线性分数阶微分方程75

2.3.3一般的分数阶常微分方程77

2.3.4例子——Mittag-Leffier函数的应用80

2.4附录A 傅里叶变换82

2.5附录B 拉普拉斯变换89

2.6附录C Mittag-Leffler函数91

2.6.1 Gamma函数和Beta函数91

2.6.2 Mittag-Leffler函数93

第3章 分数阶偏微分方程95

3.1分数阶扩散方程95

3.2分数阶Schrodinger方程98

3.2.1空间分数阶导数的Schrodinger方程98

3.2.2时间分数阶导数的Schrodinger方程109

3.2.3一维分数阶Schrodinger方程的整体适定性113

3.3分数阶Ginzburg-Landau方程120

3.3.1弱解的存在性120

3.3.2强解的整体存在性125

3.3.3吸引子的存在性131

3.4分数阶Landau-Lifshitz方程135

3.4.1黏性消去法136

3.4.2 Ginzburg-Landau逼近与渐近极限142

3.4.3高维情形——Galerkin逼近148

3.5分数阶QG方程160

3.5.1解的存在唯一性161

3.5.2无黏极限170

3.5.3长时间行为——衰减和逼近174

3.5.4吸引子的存在性181

3.6边值问题——调和延拓方法189

第4章 分数阶微积分的数值逼近198

4.1分数阶微积分定义及其相互关系198

4.2 Riemann-Liouville分数阶微积分的G算法201

4.3 Riemann-Liouville分数阶导数的D算法204

4.4 Riemann-Liouville分数阶积分的R算法207

4.5分数阶导数的L算法209

4.6分数阶差商逼近的一般通式210

4.7经典整数阶数值微分、积分公式的推广212

4.7.1经典向后差商及中心差商格式的推广212

4.7.2插值型数值积分公式的推广214

4.7.3经典线性多步法的推广：Lubich分数阶线性多步法215

4.8其他方法技巧的应用218

4.8.1利用傅里叶级数计算周期函数的分数阶微积分218

4.8.2短记忆原理218

第5章 分数阶常微分方程数值求解方法220

5.1分数阶线性微分方程的解法220

5.2一般分数阶常微分方程的解法221

5.2.1直接法222

5.2.2间接法225

5.2.3差分格式226

5.2.4误差分析227

第6章 分数阶偏微分方程数值解法230

6.1空间分数阶对流-扩散方程231

6.2时间分数阶偏微分方程234

6.2.1差分格式235

6.2.2稳定性分析：Fourier-Von Neumann方法235

6.2.3误差分析236

6.3时间-空间分数阶偏微分方程238

6.3.1差分格式238

6.3.2稳定性及收敛性分析239

6.4非线性分数阶偏微分方程的数值计算244

6.4.1 Adomian分解法244

6.4.2变分迭代法246

参考文献248