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第一章 向量与向量函数分析1

§1.1 向量及其运算1

1.1.1 向量1

目录1

1.1.2 向量与向量运算的坐标表示2

1.1.3 柱面坐标系和球面坐标系6

§1.2 向量值函数的概念8

1.2.1 向量值函数的定义8

1.2.2 向量值函数的运算10

1.3.1 向量值函数的极限11

§1.3 向量值函数的极限和连续性11

1.3.2 向量值函数的连续性13

§1.4 向量值函数的导数14

1.4.1 向量值函数的导数14

1.4.2 向量值函数的求导规则18

§1.5 向量值函数的积分20

1.5.1 体积分20

1.5.2 曲面积分23

1.5.3 曲线积分25

1.5.4 高斯公式和斯托克斯公式28

习题129

第二章 数量场32

§2.1 数量场的几何描述 等值面32

§2.2 数量场的方向导数和梯度34

2.2.1 方向导数34

2.2.2 梯度37

习题240

第三章 向量场43

§3.1 向量场的几何描述 向量线43

§3.2 向量场的通量和梯度46

3.2.1 通量46

3.2.2 散度50

§3.3 向量场的环量和旋度58

3.3.1 环量59

3.3.2 环量面密度和旋度61

3.3.3 场函数的导数与梯度、散度和旋度的关系67

习题371

第四章 微分形式的外微分及其应用74

§4.1 微分形式及其外微分74

4.1.1 自变量微分的外积74

4.1.2 微分形式75

4.1.3 微分形式的外微分79

§4.2 微分形式外微分的应用81

习题484

第五章 三种特殊形式的向量场86

§5.1 保守场86

5.1.1 保守场的概念86

5.1.2 保守场的势函数88

5.1.3 保守场的旋度93

§5.2 管形场96

§5.3 调和场99

习题5103

§6.1 曲线坐标系的定义105

第六章 正交曲线坐标系105

§6.2 正交曲线坐标系中的弧微分108

§6.3 梯度、散度、旋度和调和量在正交曲线112

坐标系中的表示式112

6.3.1 梯度112

6.3.2 散度112

6.3.3 旋度114

6.3.4 梯度、散度、旋度及调和量在柱面坐标系和115

球面坐标系中的表示式115

习题6116

7.1.1 复数及其几何表示118

§7.1 复数及其代数运算118

第七章 复数与平面点集118

7.1.2 复数的运算120

§7.2 复球面与无穷远点127

§7.3 平面点集128

习题7134

第八章 解析函数136

§8.1 复变函数136

8.1.1 复变函数的概念136

8.1.2 复变函数的几何表示138

8.2.1 复变函数的极限141

§8.2 复变函数的极限和连续性141

8.2.2 复变函数的连续性143

§8.3 解析函数148

§8.4 初等函数157

8.4.1 指数函数157

8.4.2 三角函数159

8.4.3 根式函数161

8.4.4 对数函数166

＊8.4.5 一般幂函数与一般指数函数168

8.4.6 反三角函数170

习题8171

§9.1 积分及其性质175

第九章 复变函数的积分175

§9.2 柯西定理180

9.2.1 柯西定理180

9.2.2 解析函数的原函数187

9.2.3 多连通区域的柯西定理190

§9.3 柯西公式193

9.3.1 柯西公式193

9.3.2 解析函数的高阶导数196

习题9201

§10.1 复数项级数204

第十章 复变函数的级数表示204

§10.2 复变函数项级数207

§10.3 幂级数210

§10.4 泰勒级数214

10.4.1 解析函数的泰勒级数214

10.4.2 解析函数的零点218

§10.5 罗朗级数221

10.5.1 圆环内解析函数的罗朗级数221

10.5.2 利用罗朗级数讨论孤立奇点227

习题10233

11.1.1 残数基本定理237

§11.1 残数的一般理论237

第十一章 残数及其应用237

11.1.2 残数的计算239

11.1.3 无穷远点的残数241

§11.2 残数在实积分计算中的应用244

§11.3 辐角原理及其应用252

习题11259

第十二章 保形映射262

§12.1 保形映射的概念262

＊§12.2 保形映射的基本理论265

12.3.1 线性映射的性质268

§12.3 线性映射268

12.3.2 例题275

§12.4 初等保形映射279

12.4.1 幂函数279

12.4.2 指数函数与对数函数280

12.4.3 初等保形映射的应用282

习题12291

＊第十三章 解析开拓295

§13.1 解析开拓的一般概念295

§13.2 解析开拓的方法302

13.2.1 幂级数开拓法302

13.2.2 对称原理303

§13.3 多角形映射306

习题13313

第十四章 调和函数315

§14.1 调和函数及其性质315

§14.2 狄里克莱问题321

§14.3 解析函数对平面场的应用326

14.3.1 平面场的概念327

14.3.2 表征平面调和场的解析函数328

14.3.3 平面场的物理解释331

习题14335

第十五章 傅里叶变换337

§15.1 傅里叶变换的概念338

15.1.1 傅里叶级数与傅里叶积分338

15.1.2 傅里叶变换345

15.1.3 傅里叶正弦、余弦变换349

§15.2 傅里叶变换的性质353

15.2.1 基本性质353

15.2.2 卷积和相关函数358

15.2.3 傅里叶变换在解微分方程中的应用364

§15.3 δ函数及其傅里叶变换366

15.3.1 δ函数的概念与性质367

15.3.2 δ函数的傅里叶变换370

§15.4 实变复值函数的傅里叶变换374

§15.5 离散傅里叶变换377

15.5.1 离散傅里叶变换的定义377

15.5.2 离散傅里叶变换的性质和有关定理380

§15.6 快速傅里叶变换算法原理382

习题15387

第十六章 拉普拉斯变换391

§16.1 拉普拉斯变换的概念391

§16.2 拉普拉斯变换的性质396

§16.3 拉普拉斯逆变换404

16.4.1 卷积409

§16.4 卷积定理409

16.4.2 卷积定理410

§16.5 拉普拉斯变换的应用413

16.5.1 求解常微分方程、积分方程413

16.5.2 求解偏微分方程415

16.5.3 线性系统中的应用416

习题16418

习题参考答案423

附录Ⅰ 哈密尔顿算子499

附录Ⅱ 傅里叶变换简表502

附录Ⅲ 拉普拉斯变换简表509