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绪论1

0.1 数值方法研究的必要性1

0.2 内容和结构3

第1章 两个简单格式6

1.1 古典格式6

1.1.1 格式构造6

1.1.2 可行性和效率9

1.1.3 数值表现11

1.2 简单推广14

1.3 总结16

习题16

第2章 线性差分格式的基本理论18

2.1 预备知识18

2.2 相容性20

2.2.1 逐点相容性20

2.2.2 整体相容性22

2.2.3 导数的差商离散23

2.3 稳定性26

2.4 Fourier方法32

2.4.1 理论背景32

2.4.2 操作过程35

2.5 收敛性38

2.5.1 基本概念39

2.5.2 Lax-Richtmyer等价定理40

习题41

第3章 热传导方程43

3.1 相容性43

3.1.1 加权平均格式43

3.1.2 三层格式47

3.2 计算效率53

3.2.1 时间步长的轮替策略53

3.2.2 显隐格式的交替使用54

3.2.3 Saul'ev格式及其应用58

3.3 误差估计或收敛分析61

3.3.1 基于强正则性假设61

3.3.2 弱正则性假设63

3.4 导数边界条件66

3.4.1 单侧离散方式67

3.4.2 双侧离散方式70

3.4.3 数值表现72

3.5 初值条件的离散73

习题75

第4章 一维扩散方程77

4.1 具有光滑系数的线性扩散方程77

4.1.1 非守恒型扩散方程77

4.1.2 守恒型扩散方程79

4.1.3 稳定性分析方法82

4.2 具有间断系数的线性扩散方程86

4.3 极坐标下的热传导方程88

4.4 非线性扩散方程91

习题93

第5章 高维扩散方程95

5.1 微分方程的数值离散95

5.2 边界条件的数值离散98

5.2.1 矩形区域99

5.2.2 任意区域101

5.2.3 高维格式的计算效率106

5.3 分数步长方法107

5.3.1 交替方向隐式方法107

5.3.2 局部一维化方法113

5.3.3 注释和说明114

习题116

第6章 线性常系数对流方程119

6.1 迎风格式和Lax-Wendroff格式119

6.1.1 迎风格式119

6.1.2 Lax-Wendroff格式121

6.1.3 稳定性分析方法122

6.1.4 数值表现124

6.2 线性常系数差分格式126

6.2.1 基本数值概念127

6.2.2 单调格式与数值振荡128

6.2.3 数值耗散、数值频散和数值振荡129

6.3 其他著名格式133

6.3.1 Lax-Friedrichs格式133

6.3.2 蛙跳格式135

6.3.3 盒子格式138

6.4 人工边界条件141

习题143

第7章 线性双曲型方程145

7.1 线性变系数对流方程145

7.2 一阶双曲型方程组148

7.3 二阶声波方程150

7.3.1 直接离散方式150

7.3.2 间接离散方式151

7.3.3 哈密顿系统和辛格式153

7.4 高维对流方程155

习题157

第8章 非线性双曲守恒律159

8.1 弱解和熵解159

8.2 守恒型差分格式162

8.2.1 基于光滑解的格式构造162

8.2.2 关于间断解的健壮性167

8.3 有限体积方法169

8.3.1 基本框架169

8.3.2 Godunov方法173

8.4 稳定性和收敛性177

8.4.1 单调保持格式178

8.4.2 单调格式178

8.4.3 TVD格式179

8.5 TVD修正技术181

8.5.1 数值通量修正技术181

8.5.2 数值斜率修正技术182

习题184

第9章 发展型方程差分方法综述185

9.1 对流扩散方程185

9.1.1 中心差商显格式185

9.1.2 常用的解决方法187

9.2 修正方程方法191

9.3 能量方法193

习题196

第10章 椭圆型方程198

10.1 五点格式198

10.1.1 规则内点的五点差分方程198

10.1.2 非规则内点的五点差分方程199

10.1.3 离散方程组200

10.1.4 线性方程组的数值解法201

10.2 最大模估计205

10.2.1 强最大值原理205

10.2.2 简单估计206

10.2.3 精细估计207

10.3 提高数值精度的方法209

10.3.1 Richardson外推技术209

10.3.2 九点格式210

10.3.3 Kreiss差分格式210

10.4 有限元方法211

10.4.1 变分方法的基本理论212

10.4.2 古典变分法214

10.4.3 标准有限元方法216

习题219

主要参考文献221

附录222

A Taylor级数222

B Fourier级数（积分）222

C 周期函数的离散Fourier理论222

D 线性差分方程的基本理论223

E 三对角矩阵的特征值224

F Gronwall不等式225

G 圆盘定理225

部分习题答案和提示226

索引228