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第1章 随机事件及其概率1

1.1随机试验、随机事件及样本空间1

1.1.1 随机现象与统计规律性1

1.1.2 随机试验2

1.1.3 样本空间与随机事件2

1.1.4 事件间的关系及运算3

1.2 概率的定义及性质6

1.2.1 概率的统计定义6

1.2.2 概率的古典定义8

1.2.3 概率的几何定义13

1.2.4 概率的公理化定义17

1.3条件概率21

1.3.1 条件概率的定义及性质21

1.3.2 概率乘法公式23

1.3.3 全概率公式与贝叶斯公式24

1.4 独立性27

1.4.1 两事件的独立性28

1.4.2 多个事件的独立性29

1.4.3 独立性的概念在计算概率中的应用30

1.4.4 n重伯努利试验32

1.5 综合例题33

1.6 历史注记：概率论的起源与发展概览36

1.6.1 概率论前史36

1.6.2 概率论的创立及早期发展37

1.6.3 分析概率论的建立与发展39

1.6.4 公理化体系的构建及现代概率论的发展40

习题141

第2章 随机变量及其分布43

2.1 随机变量及其分布函数43

2.1.1 随机变量的概念43

2.1.2 随机变量的分布函数44

2.2 离散型随机变量及其分布47

2.2.1离散型随机变量及其分布律47

2.2.2 三种常用离散型随机变量及其分布49

2.2.3 二项分布的泊松近似50

2.3 连续型随机变量及其概率密度52

2.3.1 连续型随机变量及其概率密度52

2.3.2 三种重要的连续型分布55

2.4 随机变量函数的分布61

2.4.1 问题的提出61

2.4.2 离散型随机变量函数的分布61

2.4.3 连续型随机变量函数的分布62

2.5 综合例题64

2.6 历史注记：二项分布68

2.6.1 雅各布·伯努利与二项概率公式68

2.6.2 棣莫弗与二项概率的正态逼近69

2.6.3 泊松逼近与泊松分布71

习题272

第3章 多维随机变量及其分布76

3.1多维随机变量及其分布76

3.1.1 多维随机变量及其分布函数76

3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律78

3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度80

3.2 边缘分布82

3.2.1 边缘分布函数82

3.2.2 边缘分布律83

3.2.3 边缘概率密度85

3.3 条件分布87

3.3.1 条件分布函数87

3.3.2 离散型随机变量的条件分布89

3.3.3 连续型随机变量的条件分布90

3.4 随机变量的独立性92

3.4.1 两个随机变量的独立性92

3.4.2 多个随机变量的独立性95

3.4.3 多维随机变量的独立性96

3.5 两个随机变量的函数的分布96

3.5.1 两个离散型随机变量的函数的分布96

3.5.2 连续型随机变量函数的分布98

3.5.3 二维随机变量换的分布定理105

3.6 综合例题106

3.7 历史注记：蒙蒂·霍尔问题及其他110

3.7.1 蒙蒂·霍尔问题111

3.7.2 监狱看守悖论112

3.7.3 辛普森悖论112

3.7.4 启示113

习题3113

第4章 随机变量的数字特征117

4.1 数学期望117

4.1.1 离散型随机变量的数学期望117

4.1.2 连续型随机变量的数学期望121

4.1.3 随机变量函数的数学期望123

4.1.4 数学期望的性质125

4.2 随机变量的方差127

4.2.1 方差127

4.2.2 切比雪夫不等式132

4.3协方差与相关系数133

4.3.1 问题的提出133

4.3.2 定义133

4.3.3 协方差的性质与计算134

4.3.4 相关系数的性质及意义135

4.4 矩、协方差矩阵138

4.4.1 矩138

4.4.2 协方差矩阵140

4.5 综合例题142

4.5 历史注记：从“分赌本问题”到数字特征147

4.5.1 早期分赌本问题147

4.5.2 德·梅耶的问题及帕斯卡与费马的解答148

4.5.3 “分赌本问题”与数学期望150

4.5.4 其他数字特征的引入150

习题4151

第5章 大数定律与中心极限定理155

5.1 大数定律155

5.1.1 大数定律的概念155

5.1.2 切比雪夫大数定律155

5.1.3 伯努利大数定律157

5.1.4 马尔可夫大数定律和辛钦大数定律158

5.2 中心极限定理159

5.2.1 中心极限定理的背景及研究思路160

5.2.2 几个基本的中心极限定理161

5.3 综合例题165

5.4 历史注记：俄苏数学学派与极限定理研究的突破167

5.4.1 彼得堡数学学派167

5.4.2 莫斯科数学学派171

习题5172

第6章 数理统计的基础知识174

6.1 总体与样本174

6.1.1 总体与总体分布174

6.1.2 样本与样本分布175

6.2 样本函数与统计量177

6.2.1 样本函数177

6.2.2 统计量的定义177

6.2.3 常用统计量177

6.3 三个常用的统计分布179

6.3.1 x2分布179

6.3.2 t分布181

6.3.3 F分布182

6.4 正态总体的抽样分布定理183

6.4.1 单正态总体的抽样分布183

6.4.2 双正态总体的抽样分布185

6.5 综合例题186

6.6 历史注记：数理统计学发展概要189

6.6.1 数理统计学的萌芽189

6.6.2 数理统计学的确立和成熟190

6.6.3 数理统计学发展的新阶段191

习题6191

第7章 参数估计193

7.1 参数的点估计193

7.1.1 问题的提出193

7.1.2 矩估计法194

7.1.3 极大似然估计法196

7.2 评判估计量优劣的标准200

7.3 区间估计概述202

7.3.1 区间估计的概念203

7.3.2 枢轴量法203

7.4 正态总体参数的区间估计204

7.4.1 单个正态总体参数的区间估计204

7.4.2 两个正态总体均值差与方差比的区间估计208

7.5 非正态总体参数的区间估计举例212

7.6 单侧置信限214

7.7 综合例题215

7.8 历史注记：K·皮尔逊与戈赛特221

7.8.1 K·皮尔逊：大样本理论的一代宗师221

7.8.2 戈赛特：小样本统计的先驱222

习题7224

第8章 假设检验227

8.1 假设检验的基本概念227

8.1.1 统计假设和假设检验227

8.1.2 假设检验的基本思想与推理方法228

8.1.3 双侧假设检验与单侧假设检验231

8.1.4 假设检验的一般步骤233

8.1.5 假设检验可能犯的两类错误233

8.2 单个正态总体参数的假设检验233

8.2.1 关于正态总体均值μ的假设检验234

8.2.2 关于正态总体方差σ2的假设检验236

8.3 两个正态总体参数的假设检验237

8.3.1 关于两个正态总体均值差μ1-μ2的假设检验238

8.3.2 关于两个正态总体方差σ21与σ22的假设检验（F检验法）241

8.4 非正态总体参数的假设检验举例243

8.5 总体分布的拟合优度检验245

8.6 综合例题250

8.7 历史注记：费歇尔256

8.7.1 生平简介256

8.7.2 对数理统计的主要贡献257

习题8260

第9章 方差分析263

9.1 单因素试验的方差分析263

9.1.1 方差分析概述263

9.1.2 单因素试验的方差分析264

9.2 双因素试验的方差分析268

9.2.1 双因素无重复试验的方差分析268

9.2.2 双因素等重复试验的方差分析272

9.3 综合例题276

9.4 历史注记 ： E·S·皮尔逊与奈曼282

9.4.1 E·S·皮尔逊：继承与背叛282

9.4.2 奈曼：更多的数学283

9.4.3 不朽的合作：“准哥白尼革命”284

习题9285

第10章 回归分析288

10.1 一元线性回归288

10.1.1 回归分析的基本概念288

10.1.2 一元回归分析与最小二乘法289

10.1.3 一元线性回归模型与未知参数的估计291

10.1.4 回归方程的显著性检验294

10.1.5 利用线性回归方程预测和控制298

10.1.6 非线性回归300

10.2 多元线性回归分析303

10.3 综合例题308

10.4 历史注记：高尔顿与埃奇沃思313

10.4.1 高尔顿：创新的思想家314

10.4.2 埃奇沃思：思想周密的理论家315

习题10317

习题答案320

附录327

参考文献342