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第一部分 高等数学3

第一章 函数、极限与连续3

1知识要点精讲3

2重要公式与结论17

3 典型题型与例题分析19

题型一 函数关系的建立19

题型二 考查函数的特性21

题型三 求函数极限22

题型四 求数列极限31

题型五 求解含参变量的极限36

题型六 已知极限，求待定参数、函数值、导数及函数37

题型七 无穷小比较39

题型八 判断函数的连续性与间断点的类型40

题型九 确定方程f （x） = 0的根42

题型十 综合题43

习题精选一45

习题精选一参考答案47

第二章 导数与微分48

1知识要点精讲48

2重要公式与结论55

3典型题型与例题分析56

题型一 利用导数定义解题56

题型二 求分段函数的导数60

题型三 导数在几何上的应用62

题型四 变限积分求导65

题型五 利用导数公式与运算法则求导68

题型六 综合题71

习题精选二73

习题精选二参考答案75

第三章 微分中值定理与导数的应用76

1知识要点精讲76

2典型题型与例题分析86

题型一 证明存在ξ，使f（ξ） = 086

题型二 证明存在ξ，使f（N）（ξ）= 0（n=1，2，…）88

题型三 证明存在ξ，使G（ξ， f（ξ） ，f’（ξ） ，…）= 090

题型四 直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明93

题型五 双介值问题，要证存在ξ，η使Gf’（ξ），f’（η），…）= 095

题型六 证明存在ξ，使得f（n） （ξ） = k（k ≠ 0）97

题型七 有关介值的不等式证明99

题型八 隐含介值问题100

题型九 不等式的证明102

题型十 利用导数证明函数恒等式113

题型十一 利用导数判别函数的单调性114

题型十二 利用导数研究函数的极值与最值115

题型十三 曲线的凹凸性与拐点116

题型十四 求曲线的渐近线117

题型十五 函数作图118

题型十六 求曲率与曲率半径120

题型十七 综合题121

习题精选三123

习题精选三参考答案125

第四章 一元函数积分学126

1知识要点精讲126

2重要公式与结论147

3典型题型与例题分析148

题型一 计算不定积分148

题型二 不定积分综合题152

题型三 有关定积分的概念与性质的问题157

题型四 利用基本方法（牛顿-莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）计算定积分159

题型五 对称区间上的积分163

题型六 涉及变限积分的问题164

题型七 定积分循环计算法168

题型八 几类特殊积分问题169

题型九 反常（广义）积分的计算172

题型十 定积分等式的证明176

题型十一 定积分不等式的证明178

题型十二 定积分的几何（物理）应用181

题型十三 综合题186

习题精选四192

习题精选四参考答案193

第五章 向量代数与空间解析几何195

1知识要点精讲及主要公式与结论195

2典型题型与例题分析201

题型一 与向量代数有关的计算问题201

题型二 求平面与直线方程201

题型三 讨论平面与直线的位置关系204

题型四 求对称点、投影点及投影曲线205

题型五 综合题206

习题精选五207

习题精选五参考答案207

第六章 多元函数微分学209

1知识要点精讲及主要公式与结论209

2典型题型与例题分析218

题型一 基本概念题218

题型二 求复合函数的偏导数或全微分220

题型三 求隐函数的偏导数或全微分222

题型四 已知偏导数，反求函数关系225

题型五 多元函数的极值和最值问题226

题型六 求多元函数的梯度或方向导数231

题型七 多元函数微分学的几何应用231

题型八 综合题233

习题精选六235

习题精选六参考答案236

第七章 重积分238

1知识要点精讲238

2重要公式与结论245

3典型题型与例题分析246

题型一 考查二重积分的基本概念与性质246

题型二 二重积分的基本计算方法247

题型三 利用重积分的对称性简化计算250

题型四 交换积分次序252

题型五 分区域函数的二重积分253

题型六 反常（广义）二重积分255

题型七 直角坐标系下计算三重积分（适用于方形区域）256

题型八 利用“先二后一”法（适用于旋转体类型的区域）256

题型九 利用柱面坐标（适用于区域含柱形体的情形）256

题型十 利用球面坐标（适用于区域含球形的情形）257

题型十一 综合题257

习题精选七261

习题精选七参考答案263

第八章 曲线、曲面积分264

1知识要点精讲264

2重要公式与结论272

3典型题型与例题分析273

题型一 对弧长的曲线积分的计算方法273

题型二 对坐标的曲线积分的计算方法274

题型三 对面积的曲面积分的计算方法279

题型四 对坐标的曲面积分的计算方法281

题型五 求曲面的面积285

题型六 求向量场的散度及旋度287

题型七 综合题287

习题精选八290

习题精选八参考答案292

第九章 无穷级数294

1知识要点精讲294

2重要公式与结论302

3典型题型与例题分析303

题型一 判定常数项级数的收敛性303

题型二 求函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径和收敛区间306

题型三 求常数项级数的和及函数项级数的和函数307

题型四 幂级数的展开309

题型五 傅里叶级数的展开310

题型六 综合题312

习题精选九314

习题精选九参考答案316

第十章 常微分方程317

1知识要点精讲317

2基本方法327

3典型题型与例题分析328

题型一 可化为一阶线性微分方程的求解及全微分方程求解328

题型二 可化为变量可分离微分方程的求解331

题型三 可降阶的高阶微分方程332

题型四 高阶线性微分方程和可化为二阶常系数线性微分方程的求解334

题型五 综合题与应用题337

习题精选十342

习题精选十参考答案344

第二部分 线性代数347

第一章 行列式347

1知识要点精讲347

2难点、疑点解析及重要公式与结论351

3典型题型与例题分析354

题型一 利用行列式的性质与行（列）展开定理计算行列式354

题型二 按行（列）展开公式求代数余子式355

题型三 利用多项式分解因式计算行列式356

题型四 抽象行列式的计算或证明357

题型五n阶行列式的计算359

题型六 利用特征值计算行列式364

题型七 综合题365

习题精选一368

习题精选一参考答案369

第二章 矩阵370

1知识要点精讲370

2难点、疑点解析及重要公式与结论379

3典型题型与例题分析382

题型一 求数值型矩阵的逆矩阵382

题型二A为抽象矩阵，讨论A的可逆性385

题型三 考查矩阵运算的特殊性386

题型四 解矩阵方程388

题型五 求方阵A的高次幂An391

题型六 利用伴随矩阵A进行计算或证明392

题型七 有关初等矩阵的问题394

题型八 求矩阵的秩395

题型九 综合题398

习题精选二400

习题精选二参考答案402

第三章 向量404

1知识要点精讲404

2难点、疑点解析及重要公式与结论415

3典型题型与例题分析417

题型一 判定向量组的线性相关性417

题型二 把一个向量用一组向量线性表示423

题型三 求向量组的秩429

题型四 有关矩阵秩的命题432

题型五 有关向量空间的基本概念题433

题型六 综合题434

习题精选三436

习题精选三参考答案438

第四章 线性方程组440

1知识要点精讲440

2难点、疑点解析及重要公式与结论445

3典型题型与例题分析447

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）447

题型二 含有参数的线性方程组的求解449

题型三 抽象线性方程组求解457

题型四 讨论两个方程组的公共解459

题型五 讨论两个方程组解之间的关系463

题型六 已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数465

题型七 有关基础解系的讨论466

题型八 有关AB = 0的应用470

题型九 综合题471

习题精选四478

习题精选四参考答案480

第五章 特征值与特征向量482

1知识要点精讲482

2难点、疑点解析及重要公式与结论488

3典型题型与例题分析490

题型一 数值型矩阵特征值、特征向量的计算490

题型二 计算抽象矩阵的特征值492

题型三 特征值、特征向量的逆问题496

题型四 矩形相似与对角化的讨论500

题型五 有关实对称矩阵的命题506

题型六 特征值、特征向量与相似矩阵的应用问题508

题型七 有关特征值、特征向量的证明问题513

题型八 综合题515

习题精选五520

习题精选五参考答案523

第六章 二次型525

1知识要点精讲525

2难点、疑点解析及重要公式与结论532

3典型题型与例题分析533

题型一 基本概念题（二次型的矩阵、秩、正负惯性指数）533

题型二 化二次型为标准形534

题型三 有关正定二次型（正定矩阵）命题的证明540

题型四 综合题544

习题精选六548

习题精选六参考答案549

第三部分 概率论与数理统计553

第一章 随机事件与概率553

1知识要点精讲553

2补充注释与重要结论558

3典型题型与例题分析561

题型一 事件的表示和运算561

题型二 有关概率基本性质的命题562

题型三 古典概型与几何概型的概率计算565

题型四 事件独立性的命题569

题型五 条件概率与积事件概率的计算571

题型六 全概率公式和贝叶斯公式概型575

题型七 伯努利试验578

题型八 综合题579

习题精选一582

习题精选一参考答案584

第二章 随机变量及其分布585

1知识要点精讲585

2补充注释与重要结论588

3典型题型与例题分析591

题型一 有关随机变量与分布的基本概念题591

题型二 求随机变量的分布律与分布函数595

题型三 已知事件发生的概率，反求事件中的未知参数601

题型四 利用常见分布求相关事件的概率603

题型五 求随机变量函数的分布604

题型六 综合题609

习题精选二611

习题精选二参考答案613

第三章 多维随机变量及其分布615

1知识要点精讲615

2补充注释与重要结论620

3典型题型与例题分析622

题型一 联合分布、边缘分布与条件分布的计算622

题型二 已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数630

题型三 利用已知分布求相关事件的概率631

题型四 随机变量函数的分布633

题型五 随机变量的独立性的讨论640

题型六 综合题641

习题精选三643

习题精选三参考答案645

第四章 随机变量的数字特征647

1知识要点精讲647

2补充注释与重要结论650

3典型题型与例题分析651

题型一 期望和方差的计算651

题型二 随机变量函数的数学期望与方差655

题型三 有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题662

题型四 有关数字特征的应用题667

题型五 综合题670

习题精选四672

习题精选四参考答案674

第五章 大数定律和中心极限定理675

1知识要点精讲675

2典型题型与例题分析677

题型一 有关切比雪夫不等式的命题677

题型二 有关大数定律的命题679

题型三 有关中心极限定理的命题680

题型四 综合题684

习题精选五685

习题精选五参考答案686

第六章 数理统计的基本概念688

1知识要点精讲688

2补充注释与重要结论694

3典型题型与例题分析695

题型一 求样本容量n，或与样本均值-X和样本方差S2有关的概率695

题型二求统计量的数字特征696

题型三 求统计量的分布699

习题精选六701

习题精选六参考答案702

第七章 参数估计703

1知识要点精讲703

2补充注释与重要结论706

3典型题型与例题分析707

题型一 求矩法估计和最大似然估计707

题型二 估计量评选标准的讨论714

题型三 参数的区间估计718

题型四 综合题720

习题精选七721

习题精选七参考答案723

第八章 假设检验724

1知识要点精讲724

2补充注释与重要结论726

3典型题型与例题分析726

题型一 正态总体未知参数的假设检验726

题型二 有关两类错误的命题727

习题精选八729

习题精选八参考答案730