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目录1

1 矩阵1

1.1 矩阵的概念1

1.1.1 矩阵的概念1

1.1.2 几种特殊的矩阵2

1.1.3 矩阵的相等3

1.2 矩阵的运算3

1.2.1 矩阵的线性运算3

1.2.2 矩阵的乘法4

1.2.3 方阵的幂6

1.2.4 矩阵的转置8

1.3 矩阵的应用9

1.3.1 线性方程组9

1.3.2 线性变换10

1.3.3 关系与关系矩阵11

1.3.4 动物种群的增长模型12

1.4 方阵的行列式14

1.4.1 行列式的定义14

1.4.2 行列式的性质16

1.4.3 行列式的计算18

1.4.4 克拉默（Cramer）法则22

1.5 可逆矩阵24

1.5.1 可逆矩阵的概念与性质24

1.5.2 求逆阵的方法26

1.5.3 简单的矩阵方程28

1.6 矩阵的应用（续）——投入产出模型29

1.6.1 投入产出模型29

1.6.2 直接消耗系数矩阵的幂的经济意义32

1.7 分块矩阵33

1.7.1 分块矩阵的概念33

1.7.2 分块矩阵的运算34

1.7.3 分块对角阵36

习题138

2 矩阵的初等变换与线性方程组42

2.1 矩阵的初等变换42

2.1.1 矩阵的初等变换42

2.1.2 初等方阵44

2.1.3 用初等行变换求逆阵45

2.2 矩阵的秩46

2.2.1 秩的概念与性质46

2.2.2 秩的计算47

2.3 线性方程组的解49

2.3.1 线性方程组概述49

2.3.2 齐次线性方程组51

2.3.3 非齐次线性方程组54

2.4 迭代法59

2.4.1 雅可比迭代法59

2.4.2 高斯-赛德尔迭代法61

习题262

3 向量组的线性相关性65

3.1 向量组的线性相关性65

3.1.1 向量组的线性组合65

3.1.2 向量组的线性相关性67

3.1.3 关于线性相关性的几个定理69

3.2 向量组的最大无关组和秩72

3.2.1 向量组的最大无关组和秩72

3.2.2 向量组的秩和最大无关组的求法73

3.3 线性方程组的解的结构76

3.3.1 齐次线性方程组的解的结构76

3.3.2 非齐次线性方程组的解的结构80

3.4 向量空间82

习题385

4.1.1 矩阵的特征值与特征向量的概念87

4.1 矩阵的特征值与特征向量87

4 矩阵的对角化与二次型87

4.1.2 矩阵的特征值与特征向量的性质91

4.2 矩阵的对角化92

4.2.1 相似矩阵92

4.2.2 矩阵的对角化93

4.3 实对称阵的对角化96

4.3.1 正交矩阵96

4.3.2 实对称阵的对角化100

4.4 二次型及其标准形103

4.4.1 二次型及其矩阵形式103

4.4.2 二次型的标准形105

4.5 正定二次型109

习题4111

复习题1113

5.1.1 线性规划问题举例119

5.1 线性规划问题的数学模型119

5 线性规划问题119

5.1.2 线性规划问题的数学模型121

5.2 线性规划问题的几何解释122

5.3 线性规划问题的标准形式125

5.4 基及其典式126

5.5 线性规划问题解的性质130

5.5.1 集与极点130

5.5.2 线性规划问题解的存在定理131

习题5134

6 单纯形方法137

6.1 单纯形表137

6.2 单纯形方法138

6.2.1 最优判别准则139

6.2.2 换基迭代140

6.2.3 单纯形法解题步骤143

6.3 找第一个可行基的方法150

6.4 对偶单纯形法163

习题6167

7 线性规划问题的进一步讨论170

7.1 灵敏度分析170

7.1.1 目标函数系数cj的灵敏度分析170

7.1.2 约束方程右端项的灵敏度分析173

7.1.3 增加一个新变量的分析175

7.1.4 增加一个新约束条件的分析177

7.2 对偶线性规划179

7.2.1 对偶线性规划179

7.2.2 对偶线性规划的性质185

7.2.3 影子价格及其应用186

7.3 整数规划189

7.3.1 整数规划的概念189

7.3.2 整数规划问题的解法190

7.3.3 0-1整数规划196

习题7200

8 线性规划建模204

8.1 建模的基本方法204

8.2 线性规划建模举例205

习题8212

复习题2214

9 数学实验215

实验1 矩阵的基本运算215

实验2 解线性方程组219

实验3 求矩阵的特征值与特征向量223

实验4 线性规划建模与求解225

附录1 Mathematica简介229

附录2 LINDO软件简介239

附录3 习题答案244

参考文献258