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第1章 基础知识1

1.1 集合与映射1

1.2 等价关系与集合的分类7

1.3 偏序与全序11

1.4 基数14

第2章 多项式与矩阵代数理论20

2.1 一元多项式理论20

2.2 多元多项式27

2.3 行列式的计算32

2.4 线性方程组理论41

2.5 矩阵代数理论45

第3章 向量空间与线性变换53

3.1 向量空间53

3.2 子空间的直和分解56

3.3 向量空间的同构58

3.4 线性变换61

3.5 线性变换的对角化64

3.6 向量空间的准素分解68

第4章 欧氏空间与双线性函数74

4.1 欧氏空间74

4.2 正交变换和对称变换80

4.3 酉空间82

4.4 双线性函数86

4.5 二次型与正定矩阵的应用91

第5章 群论基础97

5.1 群论基础97

5.2 有限群的结构105

5.3 可解群、幂零群与超可解群111

5.4 有限生成Abel群的结构116

第6章 环与域121

6.1 环论基础121

6.2 理想与商环126

6.3 唯一分解环132

6.4 唯一分解环上的一元多项式环137

6.5 域的扩张141

第7章 模理论146

7.1 模的定义和基本性质146

7.2 主理想整环上的自由模151

7.3 主理想整环上的有限生成模156

7.4 主理想整环上有限生成模的结构160

7.5 有限生成模的自同态环165

第8章 向量空间的分解和算子的若当标准型171

8.1 带有线性算子的模171

8.2 有理典范型175

8.3 算子的本征值与本征向量178

8.4 幂零算子的标准分解180

8.5 算子的若当标准型186

8.6 射影代数190

第9章 赋范线性空间195

9.1 线性泛函195

9.2 内积空间201

9.3 距离空间204

9.4 傅立叶展开206

9.5 基的正交化方法209

第10章 正规算子的谱理论214

10.1 正交可对角化性214

10.2 正规算子216

10.3 正交对角化219

10.4 线性算子的正交分解223

10.5 线性算子的谱理论226

第11章 度量线性空间232

11.1 双线性型的矩阵232

11.2 二次型235

11.3 正交几何的结构239

11.4 有限域上的正交几何242

11.5 维特消去定理247

11.6 维特扩张定理250

第12章 希尔伯特空间255

12.1 距离空间上的收敛性255

12.2 距离空间的稠密与连续259

12.3 距离空间的完全化263

12.4 希尔伯特空间266

12.5 傅立叶级数272

12.6 希尔伯特空间的特征278

第13章 向量空间的张量积282

13.1 自由向量空间282

13.2 向量空间的张量积285

13.3 线性变换的张量积290

13.4 交错映射与外积295

第14章 仿射几何与多项式函数298

14.1 格代数基础298

14.2 仿射几何303

14.3 平坦格306

14.4 仿射变换与射影几何308

14.5 形式幂级数311

14.6 几种重要的线性算子和多项式315

参考文献320