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第1章 集合与函数1

1.1集合论基础1

1.2函数、置换的循环分解3

1.2.1函数的基本概念和一般性质3

1.2.2置换的循环分解5

1.3对合映射不动点定理8

1.4等价关系9

1.5容斥原理、鸽巢原理和多项式定理11

1.6习题13

第2章 整除性理论16

2.1整数的整除性16

2.2最大公约数和最小公倍数17

2.3连分数21

2.3.1实数的连分数表示21

2.3.2实数的近似分数22

2.3.3近似分数的既约性24

2.3.4近似分数的误差估计24

2.3.5整数线性组合ax-by=1的生成25

2.4素数、二平方定理、算术基本定理26

2.5习题32

第3章 数论函数35

3.1 ［x］与｛x｝35

3.2积性函数40

3.3因子数τ（n）与因子和S（n）41

3.4 Euler函数？（n）42

3.5 Mobius函数和Mobius反演定理43

3.5.1 Mobius函数及其性质43

3.5.2 Mobius反演定理44

3.6习题44

第4章 不定方程46

4.1二元一次不定方程46

4.2三元一次不定方程48

4.3勾股数定理49

4.4二元二次不定方程x2+2y2=z250

4.5二元二次不定方程x2-Dy2=n51

4.5.1一般性质51

4.5.2 Pell方程54

4.5.3二元二次不定方程x2-Dy2=n求解58

4.6习题64

第5章 同余式65

5.1同余式的定义与性质65

5.2完全剩余系和缩剩余系67

5.3一元一次同余方程72

5.4一元一次同余方程组、中国剩余定理74

5.5一元多项式同余方程75

5.6习题78

第6章 二次剩余81

6.1二次剩余的基本定理81

6.2 Legendre符号85

6.3 Jacobi符号89

6.4习题92

第7章 原根和离散对数93

7.1整数a关于模m的乘法阶93

7.2原根的概念和基本性质96

7.3原根的基本定理98

7.4离散对数103

7.5公钥密码104

7.5.1 RSA公钥密码算法104

7.5.2 Rabin二次剩余方案105

7.5.3 ELGamal算法106

7.6习题107

第8章 群论108

8.1半群、商半群、半群同态108

8.1.1半群的基本概念108

8.1.2亚群中元素的阶111

8.1.3半群上的同余关系、商半群113

8.1.4半群同态114

8.2群的基本概念115

8.3子群、正规子群、商群117

8.4群的同态和同构121

8.5循环群和Abel群124

8.6 Burnside引理和Po1 ya定理127

8.6.1 Burnside引理127

8.6.2 Po1ya定理130

8.7 Sylow定理135

8.8习题142

第9章 环、域与多项式145

9.1环与整环145

9.2交换整环上的Mobius反演定理148

9.3域的基本概念149

9.4域的同构150

9.5素环、域的特征151

9.6线性空间和线性变换152

9.7子域156

9.8域上的多项式环157

9.8.1多项式和多项式函数157

9.8.2 Euclid除法和多项式同余163

9.8.3最大公因子166

9.9代数基本定理、形式导数169

9.10既约多项式171

9.11域的扩张173

9.12多项式环的分式域176

9.13习题179

第10章 有限域182

10.1有限域的概念、本原元182

10.2有限域的子域189

10.3有限域上变换的多项式函数表示190

10.4有限域中元素关于子域的最小多项式191

10.4.1非零元素的次数和共轭元191

10.4.2元素关于子域的最小多项式192

10.5有限域上的既约多项式196

10.6有限域的存在性和唯一性200

10.7有限域中元素的迹和范201

10.8有限域上的线性变换204

10.9有限域关于子域的基207

10.9.1多项式基和正规基207

10.9.2对偶基210

10.9.3伪对偶基和弱对偶基217

10.10有限域上若干方程的求解223

10.11有限域上的分圆多项式224

10.12有限域上多项式的因式分解227

10.13有限域上的置换多项式237

10.14习题241

第11章 有限域上的线性递归序列244

11.1线性递归序列的基本理论244

11.2有限域上线性反馈移位寄存器序列的周期性253

11.3有限域上周期序列的迹表示254

11.3.1特征多项式为既约多项式的情形254

11.3.2特征多项式无重因子的情形261

11.3.3一般情形264

11.4有限域上的m-序列269

11.5有限域上周期序列的线性复杂度270

11.6习题284

索引287

参考文献290