数学物理中的微分几何与拓扑学【2025|PDF下载-Epub版本|mobi电子书|kindle百度云盘下载】

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第1部分 微分流形1

第1章 预备知识1

1.1 什么是流形1

1.2 在流形中引入坐标与微分结构3

1.3 切空间和余切空间9

1.4 微分形式与外微分13

1.5 流形的定向和微分形式的积分17

第2章 切向量和余切向量的一些性质和运算17

2.1 切向量场和余切向量场的映射变换24

2.2 子流形及层状结构27

2.3 李导数Lx30

2.4 内积算子ix和三个Cartan公式32

2.5 齐李群空间37

2.6 李群空间上的不变向量场和不变余向量场40

第3章 曲率张量和挠率张量、协变微分、伴随外微分40

3.1 协变微分与联络45

3.2 流形上向量的迁移及曲率和挠率50

3.3 曲率张量和挠率张量的结构方程和可积条件56

3.4 Hodge*和伴随外微分59

第4章 黎曼几何68

4.1 黎曼度量68

4.2 Levi-Civita平行输运、黎曼联络、曲率张量73

4.3 两个有趣的例子79

4.4 n维黎曼流形上的四脚标架场83

4.5 黎曼流形上的共形变换群（流形维数＞2）85

4.6 黎曼流形上的共形变换群（流形维数n=2）89

第5章 复流形92

5.1 复流形和它的特点92

5.2 矢量空间上的复结构和近复流形94

5.3 近厄米流形、厄米流形、厄米联络98

5.4 K？hler流形103

第2部分 整体拓扑性质112

第6章 流形的同伦性质与同伦群112

6.1 同伦映射112

6.2 基本群Ⅱ1（M,xo）115

6.3 同伦群的结构与同态序列119

6.4 高阶同伦群126

6.5 n维球Sn的同伦群129

第7章 同调论与de Rham上同调论131

7.1 整同调群131

7.2 同调群与连通性、定向性的关系140

7.3 通过对偶同态引入上同调群143

7.4 de Rham上同调论146

7.5 调和形式Harmk（M,R）151

第8章 纤维丛及其拓扑结构153

8.1 什么是纤维丛153

8.2 纤维丛与截面157

8.3 几种有代表性的纤维丛159

8.4 其他各种纤维丛举例164

8.5 万有丛和分类空间167

第9章 纤维丛上的联络与曲率171

9.1 一般向量丛上的联络171

9.2 有关向量丛上曲率的几个说明176

9.3 主丛上的联络179

9.1 伴向量丛上的联络188

第10章 纤维丛的示性类与曲率张量192

10.1 不变多项式与示性类192

10.2 复向量丛上的陈示性类199

10.3 实向量丛上的庞特里亚金示性类203

10.4 实定向偶维向量丛上的欧拉示性类205

10.5 实向量丛上的斯蒂菲尔-惠特尼示性类210

10.6 陈-Simons示性类211

第3部分 指标定理和四维流形211

第11章 无边界流形的指标定理211

11.1 椭圆微分算子与解析指标211

11.2 椭圆复形与Atiyah-Singer指标定理222

11.3 de Rham复形与Gauss-Bonnet定理230

第12章 四维流形的一些重要性质242

12.1 S4上非平庸瞬子解（*F=F）和Bianchi恒等式242

12.2 自对偶联络A（∈A1g）的模空间维数252

12.3 单连通4-流形的拓扑分类262

12.4 Donaldson定理270

12.5 Taubes定理273